Problème et exercices corrigé de
physique : mécanique statistique
voici seulement un extrait de cette série d’exercices et problème corrigés
de mécanique statique pour télécharger ces exercices complet avec correction et
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exercice 1
Soit
un système de N >> 1 atomes localisés sans interactions possédant chacun
deux
états
simples d'énergie 0 et å > 0 . (Il peut
s'agir par exemple de moments
magnétiques
de spin 1/2 soumis à un champ d'induction B dont les deux niveaux
Zeeman
sont ± ìB , on a alors å = 2 ìB .) Soit n le
nombre d'atomes dans l'état
excité.
1) Quelle est l'énergie interne U n du système.
Quelle est sa valeur maximale ?
2) Calculer l'entropie S n de ce système. Donner
une expression approchée
de
S pour n >> 1 et N – n >> 1 . Pour quelle valeur de n l'entropie
est-elle
maximale
? Tracer la courbe S n / kB .
3) Exprimer la température T de ce système
lorsque n >> 1 et N – n >> 1 .
Montrer
que T peut être négative pour des valeurs de n que l'on précisera.
4) Pourquoi peut-on avoir des températures
négatives dans ce système mais pas pour
un
gaz dans une boîte ?
5) On met le système étudié, supposé à
température négative T , en contact thermique avec un autre système à
température positive T1 . Que
se passe-t-il ?
Dans
un cadre thermodynamique le système à température négative est-il plus
"chaud"
ou plus "froid" que le système à température positive ?
exercice 2
On
considère une macromolécule constituée d'un très grand nombre N d'unités
(monomères)
formant une chaîne parallèle à un axe x . Chaque unité peut être dans
l'un
des deux états á ou â . Dans l'état á , le
monomère est parallèle à la chaîne,
son
énergie vaut Eá et sa longueur
selon x est a . Dans l'état â , le
monomère est
perpendiculaire
à la chaîne, son énergie est Eâ et sa
longueur selon x est b . On
suppose
une extrémité A fixée et l'on tire sur l'autre extrémité avec une tension X .
On
admettra donc que sous l'effet de la tension X , il faut ajouter à l'énergie
interne
des
unités monomères, le terme – XL ( L longueur de la chaîne). Il s'agit d'un
modèle
simplifié des molécules de kératine dans la laine. C'est le mécanisme à la base
de
l'élasticité de la laine.
1) Donner l'expression de la longueur L de la
chaîne en fonction du nombre Ná de
monomères
dans l'état á .
2) Donner l'expression de l'énergie E de la
chaîne en fonction de Ná et des autres
paramètres
du problème.
3) On suppose le système isolé.
a) Donner en fonction de Ná le nombre d'états accessibles du système.
b) Calculer l'entropie S en fonction de Ná en considérant Ná et N
comme de
très
grands nombres.
exercice 3
On
va établir un modèle très simplifié du débobinage de deux molécules d'ADN à
double
hélice. On considère qu'il s'agit, à l'échelle moléculaire, d'une fermeture
éclair
possédant
N chaînons. Chaque chaînon a un état dans lequel il est fermé avec une
énergie
0 et un état ouvert avec une énergie å . On exige cependant que la fermeture éclair ne puisse s'ouvrir
qu'à partir d'une extrémité (gauche par exemple) et que le chaînon s ne puisse
s'ouvrir que si tous les chaînons à gauche 1 , 2 , ... , s – 1 sont déjà
ouverts. On suppose le système en équilibre avec un bain à température T .
A. 1) Un état possible du système correspond aux s
premiers chaînons ouverts.
Quelle
est son énergie ?
2) Calculer la somme d'états Z du système.
3) On suppose que å >> kBT et N
>> 1 . Simplifier Z . Calculer E et en
déduire
le nombre moyen s de chaînons ouverts.
B. En fait l'hypothèse selon laquelle chaque
chaînon ne possède qu'un seul état ouvert est irréaliste car les deux parties
d'un chaînon ouvert peuvent avoir plusieurs
orientations
relatives. On peut améliorer le modèle en supposant que chaque
chaînon
ouvert possède g états d'énergie. Un état avec s chaînons ouverts est
donc
gs fois
dégénéré.
1) Calculer la nouvelle fonction de partition Z
.
……………………………………………
Si
N est très grand, y peut très bien être >> 1 même si Dx << 1 . Calculer
Z
en fonction de y et N lorsque Dx
<< 1 .
4) Calculer, dans ces conditions, le nombre
moyen s de chaînons ouverts en
fonction
de y et N .
Cas
particuliers où y >> 1 et y << – 1 .
de
chaînons
ouverts
pour y = 100 et y = – 100 . Calculer les valeurs de
DT T0 correspondant
à ces deux situations. Montrer que l'on a une transition très étroite au
voisinage
de T0 correspondant
à une situation où presque tous les chaînons
sont
fermés pour T = T0 – DT et où presque tous les chaînons sont ouverts
pour
T = T0 + DT .
exercice 4
On
considère un grand récipient contenant un gaz à faible pression en équilibre
thermodynamique
à la température T . On désigne par n le nombre de molécules du
gaz
par unité de volume du récipient. On perce un très petit trou de surface S sur
une
paroi
normale à un axe Oz . On suppose qu'il y a le vide à l'extérieur de cette
paroi.
On
cherche le nombre de molécules qui quittent le récipient par unité de temps,
c'est-àdire le flux Ö sortant de
molécules. On supposera le trou très petit devant le libre parcours moyen des
molécules, de sorte que le gaz est en équilibre à chaque instant.
1) Calculer Ö en fonction de n , s la vitesse absolue moyenne des molécules et S
.
(Indication
: on pourra considérer d'abord toutes les molécules ayant la même
vitesse
absolue s et une distribution isotrope de leur direction, puis tenir compte
de
la distribution de s .)
2) Calculer s .
3) Donner l'expression de Ö en fonction de n , kBT , m et S .
4) Retrouver tous ces résultats à partir d'un
calcul direct en coordonnées cartésiennes en utilisant la distribution de
Maxwell des vitesses.
5) D'une manière générale quel est le nombre de
collisions des molécules avec une
paroi
de surface unité, par seconde ?
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