exercices corrigés de physique : mecanique statique

Problème et exercices corrigé de physique : mécanique statistique

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exercice 1

Soit un système de N >> 1 atomes localisés sans interactions possédant chacun deux

états simples d'énergie 0 et å > 0 . (Il peut s'agir par exemple de moments

magnétiques de spin 1/2 soumis à un champ d'induction B dont les deux niveaux

Zeeman sont ± ìB , on a alors å = 2 ìB .) Soit n le nombre d'atomes dans l'état

excité.

1) Quelle est l'énergie interne U n du système. Quelle est sa valeur maximale ?

2) Calculer l'entropie S n de ce système. Donner une expression approchée

de S pour n >> 1 et N – n >> 1 . Pour quelle valeur de n l'entropie est-elle

maximale ? Tracer la courbe S n / kB .

3) Exprimer la température T de ce système lorsque n >> 1 et N – n >> 1 .

Montrer que T peut être négative pour des valeurs de n que l'on précisera.

4) Pourquoi peut-on avoir des températures négatives dans ce système mais pas pour

un gaz dans une boîte ?

5) On met le système étudié, supposé à température négative T , en contact thermique avec un autre système à température positive T1 . Que se passe-t-il ?

Dans un cadre thermodynamique le système à température négative est-il plus

"chaud" ou plus "froid" que le système à température positive ?

exercice 2

On considère une macromolécule constituée d'un très grand nombre N d'unités

(monomères) formant une chaîne parallèle à un axe x . Chaque unité peut être dans

l'un des deux états á ou â . Dans l'état á , le monomère est parallèle à la chaîne,

son énergie vaut Eá et sa longueur selon x est a . Dans l'état â , le monomère est

perpendiculaire à la chaîne, son énergie est Eâ et sa longueur selon x est b . On

suppose une extrémité A fixée et l'on tire sur l'autre extrémité avec une tension X .

On admettra donc que sous l'effet de la tension X , il faut ajouter à l'énergie interne

des unités monomères, le terme – XL ( L longueur de la chaîne). Il s'agit d'un

modèle simplifié des molécules de kératine dans la laine. C'est le mécanisme à la base

de l'élasticité de la laine.

1) Donner l'expression de la longueur L de la chaîne en fonction du nombre Ná de

monomères dans l'état á .

2) Donner l'expression de l'énergie E de la chaîne en fonction de Ná et des autres

paramètres du problème.

3) On suppose le système isolé.

a) Donner en fonction de Ná le nombre d'états accessibles du système.

b) Calculer l'entropie S en fonction de Ná en considérant Ná et N comme de

très grands nombres.

exercice 3

On va établir un modèle très simplifié du débobinage de deux molécules d'ADN à

double hélice. On considère qu'il s'agit, à l'échelle moléculaire, d'une fermeture éclair

possédant N chaînons. Chaque chaînon a un état dans lequel il est fermé avec une

énergie 0 et un état ouvert avec une énergie å . On exige cependant que la fermeture éclair ne puisse s'ouvrir qu'à partir d'une extrémité (gauche par exemple) et que le chaînon s ne puisse s'ouvrir que si tous les chaînons à gauche 1 , 2 , ... , s – 1 sont déjà ouverts. On suppose le système en équilibre avec un bain à température T .

A. 1) Un état possible du système correspond aux s premiers chaînons ouverts.

Quelle est son énergie ?

2) Calculer la somme d'états Z du système.

3) On suppose que å >> kBT et N >> 1 . Simplifier Z . Calculer E et en

déduire le nombre moyen s de chaînons ouverts.

B. En fait l'hypothèse selon laquelle chaque chaînon ne possède qu'un seul état ouvert est irréaliste car les deux parties d'un chaînon ouvert peuvent avoir plusieurs

orientations relatives. On peut améliorer le modèle en supposant que chaque

chaînon ouvert possède g états d'énergie. Un état avec s chaînons ouverts est

donc gs fois dégénéré.

1) Calculer la nouvelle fonction de partition Z .

……………………………………………

Si N est très grand, y peut très bien être >> 1 même si Dx << 1 . Calculer

Z en fonction de y et N lorsque Dx << 1 .

4) Calculer, dans ces conditions, le nombre moyen s de chaînons ouverts en

fonction de y et N .

Cas particuliers où y >> 1 et y << – 1 .

de chaînons

ouverts pour y = 100 et y = – 100 . Calculer les valeurs de

DT T0 correspondant à ces deux situations. Montrer que l'on a une transition très étroite au

voisinage de T0 correspondant à une situation où presque tous les chaînons

sont fermés pour T = T0 – DT et où presque tous les chaînons sont ouverts

pour T = T0 + DT .

exercice 4

On considère un grand récipient contenant un gaz à faible pression en équilibre

thermodynamique à la température T . On désigne par n le nombre de molécules du

gaz par unité de volume du récipient. On perce un très petit trou de surface S sur une

paroi normale à un axe Oz . On suppose qu'il y a le vide à l'extérieur de cette paroi.

On cherche le nombre de molécules qui quittent le récipient par unité de temps, c'est-àdire le flux Ö sortant de molécules. On supposera le trou très petit devant le libre parcours moyen des molécules, de sorte que le gaz est en équilibre à chaque instant.

1) Calculer Ö en fonction de n , s la vitesse absolue moyenne des molécules et S .

(Indication : on pourra considérer d'abord toutes les molécules ayant la même

vitesse absolue s et une distribution isotrope de leur direction, puis tenir compte

de la distribution de s .)

2) Calculer s .

3) Donner l'expression de Ö en fonction de n , kBT , m et S .

4) Retrouver tous ces résultats à partir d'un calcul direct en coordonnées cartésiennes en utilisant la distribution de Maxwell des vitesses.

5) D'une manière générale quel est le nombre de collisions des molécules avec une

paroi de surface unité, par seconde ?

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