cours de calcule vectoriel

Calcule vectoriel

1.1. REPRÉSENTATION D’UN POINT DANS L’ESPACE

On se placera toujours dans un repère orthonormé Oxyz, de vecteurs unitaires_ex, _ey, _ez.

1.1.1Coordonnées cartésiennes

1.1.2 Coordonnées cylindriques

Vecteurs unitaires : _er , _eθ, _ez ;

On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan xOy.

1.1.3 Coordonnées sphériques

Vecteurs unitaires : _er , _eθ, _eϕ.

On définit M par la longueur

Bien distinguer la coordonnée polaire r = OM et la coordonnée sphérique r = OM.

1.2. VECTEURS

Dans cet ouvrage, la norme d’un vecteur _ V, habituellement écrite // V//sera

désignée tout simplement par la lettre V pour ne pas surcharger l’écriture, sauf nécessité.

Somme de deux vecteurs

1.2.2 Produit scalaire

S = _ V1 ・ _ V2 S est un scalaire

Par définition S = V1 V2 cos α

où l’angle α est défini par α = ( _ V1, _ V2).

• Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.

• Pour les vecteurs unitaires _ex , _ey, _ez on a :

• Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul.

• Pour les vecteurs unitaires _ex , _ey, _ez on a :

Expression cartésienne du produit scalaire

Exemple 1. Travail d’une force

Si _ F est la force et _ d le déplacement,

on a : W = _ F ・ _ d = F d cos α

Si _ F ⊥ _ d , le travail est nul.

Si α = ( _ d, _ F) est aigu, le travail est positif, il s’agit d’un travail moteur.

Si α est obtus, le travail est négatif, il s’agit d’un travail résistant.

1.2.3 Produit vectoriel

P = _ V1 ∧ _ V2

Par définition, _ P est un vecteur

– perpendiculaire au plan ( _ V1, _ V2),

– orienté de telle sorte que le trièdre

_ V1, _ V2, _ P soit direct,

1.2 VECTEURS

– de norme V1V2 |sin α|

où α = ( _ V1, _ V2).

• Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul.

• Pour les vecteurs unitaires _ex , _ey, _ez , on a :

Expression cartésienne du produit vectoriel :

Exemple 2. Moment d’une force par rapport à un point O

1.2.4 Vecteurs polaires et vecteurs axiaux

Un vecteur polaire est indépendant du sens positif ou négatif de l’axe qui constitue son support.

Par exemple, une force est un vecteur polaire (on dit aussi « vecteur vrai ») : le choix d’un sens pour son support ne modifie en rien sa direction, ni son sens. Un vecteur axial (on dit aussi « pseudo-vecteur ») se distingue du vecteur polaire dans la mesure où, une fois que sa direction et sa norme sont fixés, c’est le sens de rotation autour de son axe-support qui finit de le déterminer. Cela correspond au choix du trièdre direct pour exprimer le produit vectoriel −−→OM ∧−→F . Il arrive d’ailleurs qu’un vecteur axial soit représenté avec une flèche (par exemple M ).

1.3. CIRCULATION D’UN VECTEUR