Calcule vectoriel
1.1. REPRÉSENTATION D’UN POINT DANS L’ESPACE
On se placera toujours dans un
repère orthonormé Oxyz, de vecteurs unitaires_ex, _ey, _ez.
1.1.1Coordonnées cartésiennes
1.1.2 Coordonnées cylindriques
Vecteurs unitaires : _er , _eθ, _ez
;
On définit M par sa
coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan xOy.
1.1.3 Coordonnées sphériques
Vecteurs unitaires : _er , _eθ, _eϕ.
On définit M par la longueur
Bien distinguer la coordonnée
polaire r = OM et la coordonnée
sphérique r = OM.
1.2. VECTEURS
Dans cet ouvrage, la norme d’un
vecteur _ V, habituellement
écrite // V//sera
désignée tout simplement par la
lettre V pour ne pas surcharger l’écriture, sauf nécessité.
Somme de deux vecteurs
1.2.2 Produit scalaire
S = _ V1 ・ _ V2 S est
un scalaire
Par définition S = V1 V2 cos α
où l’angle α est défini par α = ( _ V1, _
V2).
• Le produit scalaire de deux
vecteurs perpendiculaires est nul.
• Pour les vecteurs unitaires _ex , _ey, _ez on
a :
• Le produit scalaire de deux
vecteurs perpendiculaires est nul.
• Pour les vecteurs unitaires _ex , _ey, _ez on
a :
Expression cartésienne du
produit scalaire
Exemple 1.
Travail d’une force
Si _ F
est
la force et _ d le déplacement,
on a : W = _ F ・ _ d = F d cos α
Si _ F
⊥ _ d , le travail est nul.
Si α = ( _ d, _ F) est aigu, le travail est positif, il
s’agit d’un travail moteur.
Si α est obtus, le travail est négatif, il
s’agit d’un travail résistant.
1.2.3 Produit vectoriel
P = _ V1 ∧ _ V2
Par définition, _ P est un vecteur
– perpendiculaire au plan ( _ V1, _ V2),
– orienté de telle sorte que le
trièdre
_ V1, _ V2, _ P soit direct,
1.2 VECTEURS
– de norme V1V2 |sin α|
où α = ( _ V1, _ V2).
• Le produit vectoriel de deux
vecteurs parallèles est nul.
• Pour les vecteurs unitaires _ex , _ey, _ez ,
on a :
Expression cartésienne du
produit vectoriel :
Exemple 2. Moment d’une
force par rapport à un point O
1.2.4 Vecteurs polaires et vecteurs axiaux
Un vecteur polaire est indépendant
du sens positif ou négatif de l’axe qui constitue son support.
Par exemple, une force est un
vecteur polaire (on dit aussi « vecteur vrai ») : le choix d’un sens pour son
support ne modifie en rien sa direction, ni son sens. Un vecteur axial (on dit
aussi « pseudo-vecteur ») se distingue du vecteur polaire dans la mesure où,
une fois que sa direction et sa norme sont fixés, c’est le sens de rotation
autour de son axe-support qui finit de le déterminer. Cela correspond au choix
du trièdre direct pour exprimer le produit vectoriel −−→OM ∧−→F . Il arrive d’ailleurs qu’un
vecteur axial soit représenté avec une flèche (par exemple M ).
1.3. CIRCULATION D’UN VECTEUR
Coordonnées
cartésiennes :
Coordonnées
cylindriques :
Coordonnées
sphériques :
Circulation sur un chemin
On considère un trajet AB sur
une courbe (C). Il convient de fixer le sens de parcours
sur la courbe (C).
Par exemple, si le
champ de vecteurs est un champ de forces, la circulation n’est autre que le
travail.
Cours de produit vectoriel, calcule vectoriel et les
cordonnée cartésienne et sphérique et polaire et expression de produit scalaire
